Cir Kis

Si, comme moi, vous êtes enthousiasmé par les pavages du plan (à chacun ses passions), vous ne manquerez pas Cir Kis. On avait déjà vu des jeux conçus sur des pavages rectangulaires ou hexagonaux. Ces pavages ont l'avantage d'être en principe infinis. Cir Kis a choisi comme terrain d'aventure un pavage de Penrose

Cliquez pour en savoir
plus sur Wikipédia, basé sur les triangles d'or et leurs dérivés.

Selon Wikipédia :

« Un triangle d'or est un triangle isocèle possédant la propriété (P) suivante : pouvoir être découpé en deux triangles isocèles inégaux et possédant à leur tour la propriété (P).
On peut démontrer qu'il n'existe que deux types de triangles d'or, le type aigu (A) et le type obtus (O). Ces deux types de triangles d'or pouvant s'obtenir en découpant un pentagone régulier de la façon suivante :

Ainsi précisée, la propriété (P) peut être utilisée pour construire un pavage de Penrose de type 0. Voici comment :

En découpant un premier triangle d'or (aigu ou obtus, peu importe) et en opérant un agrandissement d'un facteur φ, puis en recommençant l'opération précédente une infinité de fois, on constitue un pavage complet du plan à l'aide des deux types de triangles d'or. On constate que le rapport entre le nombre de triangles aigus et obtus tend vers le nombre d'or φ. Ainsi la valeur limite du rapport du nombre de triangles obtus et du nombre de triangles aigus est un nombre irrationnel, ce qui entraîne que le pavage obtenu de cette façon ne peut pas être périodique ».

Ouf ! Mais ne croyez pas être sorti de l'auberge. Wikipédia continue en effet son explication :

« Le pavage précédent a l'avantage de la simplicité mais sa construction n'est pas unique : en effet, chaque découpage d'un triangle peut s'effectuer d'au moins deux façons différentes (symétriques). En outre, ces découpages ne donnent pas une impression de régularité et conduisent donc à des pavages assez peu élégants.

Mais on peut concevoir un autre type de pavage.

En réunissant deux triangles d'or aigus ayant pour sommet commun le sommet dont la bissectrice est un axe de symétrie pour les deux autres sommets (sommets correspondants à un angle de 36°), on obtient un « pavé » en forme de cerf-volant. Si on fait la même construction avec deux triangles obtus (sommets correspondants à un angle de 108°), on obtient un « pavé » en forme de fléchette.

On peut alors paver le plan avec ces deux nouveaux « pavés ». En effet, si on prend bien soin de ne jamais accoler une fléchette et un cerf-volant en formant un parallélogramme, on peut construire ainsi un pavage non périodique. Il suffit pour cela de nommer les sommets comme indiqué sur la figure ci-dessus et de se fixer pour règle de n'accoler deux sommets que s'ils portent le même nom. Il existe une infinité de pavages du plan de ce type (…).

La figure obtenue au bout de plusieurs itérations laisse déceler une quasi-symétrie d'ordre 5. Il est facile de prouver que, comme pour les triangles d'or, la proportion entre le nombre de cerfs-volants et celui de fléchettes tend vers le nombre d'or φ, ce qui assure que le pavage ainsi construit n'est pas périodique.

À la différence du premier type de pavage, ici la construction par découpage génère un seul type de pavage de type 2 puisque le découpage des cerfs-volants et des fléchettes ne peut être réalisé que d'une seule façon ! ».

Cir Kis est ainsi basé sur un pavage avec cerfs-volants et fléchettes (pavage de type 2). Philip E. Orbanes, en cherchant à développer un pavage autour de l'étoile à cinq branches du logo de Winning Moves, a redécouvert les travaux de Roger Penrose

Cliquez pour en savoir
plus sur Wikipédia. Le plan de jeu est ainsi obtenu à partir d'une figure appelée « soleil », elle-même issue de cinq cerf-volants.

Les vingt pièces des joueurs sont composées à partir des éléments de base, cerfs-volants et fléchettes :

• 3 × 2 cerfs-volants et 1 fléchette.
• 3 × 3 cerfs-volants
• 3 × 2 fléchettes
• 3 × 2 cerfs-volants (I)
• 1 × 2 cerfs-volants (II)
• 2 × cerf-volant + fléchette (réversible)
• 2 × cerfs-volants
• 2 × fléchettes
• 1 pièce de bordure ou sliver

La règle imaginée par l'auteur est simple. On joue à tour de rôle et chaque pièce jouée doit toucher au moins par un coin la pièce posée précédemment. Le but est de s'emparer des cercles et des étoiles, c'est-à-dire d'y être seul majoritaire. On accumule ainsi des points et un joueur gagne dès qu'il atteint 40 points.

Si le jeu fonctionne parfaitement bien à deux et trois joueurs, il est moins intéressant à quatre. La solution est simple : il faut bien sûr jouer alors en équipes et modifier légèrement la règle. Si un joueur est majoritaire dans une étoile ou un cercle terminé, il marque normalement 10 points. Mais si personne n'est majoritaire seul, il convient d'attribuer 5 points à chacun des membres de l'équipe majoritaire au lieu de ne donner des points qu'au seul joueur ayant terminé la figure.

Les premières parties sont assez déconcertantes, mais je vous conseille de persévérer : vous découvrirez rapidement des tactiques intéressantes. En particulier, le jeu par équipes peut être passionnant, surtout si l'on interdit aux partenaires de se concerter ou de se conseiller l'un l'autre.

Les amateurs de géométrie trouveront ci-dessous des liens intéressants sur les triangles de Penrose, l'histoire du jeu par son auteur (en anglais) et même le jeu en ligne. Vous devriez gagner facilement, car l'ordinateur est particulièrement distrait.

Les origines du jeu Cir Kis

Un article de Philip E. Orbanes, l’inventeur du jeu, traduit par Thierry Karpiel pour les lecteurs de l'Escale à jeux.

J’ai commencé à travailler sur Cir Kis pendant les vacances de Noël 2008. Je cherchais à créer un bon jeu de placement pour Winning Moves Allemagne et Winning Moves France. J’y ai réfléchi quelques jours et j’ai fait émerger trois objectifs (je me suis entraîné à démarrer un projet avec l’idée « d’avoir toujours sa finalité en tête »).

1. Le nouveau jeu devrait avoir un plateau circulaire ou proche du cercle.
2. Il devrait s’appeler « CirKus », pour évoquer sa nature circulaire.
3. Le jeu devrait utiliser le cercle et l’étoile du logo Winning Moves, que j’ai moi-même dessiné il y a quatorze ans, pour renforcer le lien avec notre société.

Ces trois objectifs, une fois atteints, permettraient d’obtenir un jeu commercialisable et étroitement lié à Winning Moves.

La notion de plateau circulaire était vitale à mes yeux car il y a énormément de jeux (comme dernièrement le célèbre Blokus) qui utilisent une grille carrée sur laquelle on pose des “ominos” (qui sont des pièces couvrant un ou plusieurs carrés contigus de la grille). L’idée de développer un plateau circulaire fait venir immédiatement à l’esprit le mot “circus” (pour un Anglo-Saxon). J’ai transformé son orthographe en « Cir Kus » puis je me suis finalement décidé pour « Cir Kis ».

Le logo de la société Winning Moves, “étoile à l’intérieur d’un cercle”, devint ma source d’inspiration pour dessiner le plateau. Il me semblait que former des étoiles et des cercles sur une grille était quelque chose de nouveau et que cela pouvait être la façon de marquer des points. La forme circulaire du plateau (dans sa partie jouable) offrait un autre avantage. Puisque le périmètre du plateau devait techniquement être « carré » pour tenir idéalement dans une boîte carrée, la partie extérieure au cercle (les angles du plateau) permettait d’inclure un espace de rangement et une piste de comptage des points.

Je me suis décidé sur tout cela juste avant les vacances de Noël. Le 26 décembre, j’ai réalisé les premiers croquis du nouveau jeu dans mon agenda.

Après ces croquis à la main, je suis passé sur Adobe Photoshop pour perfectionner mes dessins.
Au début de ma carrière, j’ai participé à la création de beaucoup de jeux de simulation militaires (« wargames »). La plupart utilisaient une grille formée d’hexagones (créée par la RAND Corporation et rapidement adoptée par la plupart des sociétés commercialisant les wargames). J’ai donc innové avec une grille utilisant des carrés « décalés » et une autre composée d’octogones et de losanges. Ces dernières ne correspondaient pas à ma vision du jeu CirKis, mais la structure en nid d’abeille des hexagones offrait un point de départ pour une grille avec des cercles (chaque hexagone entouré de six autres formait presque un cercle). Pendant ces jours à la maison, j’ai commencé par faire une grille hexagonale sur Photoshop, juste pour avoir un point de départ pour jouer.

J’ai ajouté un cercle à l’intérieur de chaque hexagone pour donner l’illusion d’un champ de petits cercles (et, réalisé rapidement, je n’aurais même pas besoin des hexagones entourant les cercles). J’avais à présent une grille en nid d’abeille, où chaque nid d’abeille était entouré par six autres. Je créai également quelques pièces comprenant un ou plusieurs cercles adjacents. Ce motif était intéressant, mais je finis par l’écarter pour deux raisons : le jeu ressemblait à un « Blokus avec des cercles » et ses pièces étaient abstraites et pas vraiment attirantes. De plus, une étoile a normalement cinq branches et, si j’avais dû faire des étoiles avec cette grille, elles en auraient eu six.

Puis vint la découverte capitale.

Après avoir mis de côté la grille d’hexagones – cercles, je fis une étoile parfaite sur Photoshop et je dessinai des lignes radiales partant du centre de l’étoile et passant par les dix angles de son périmètre. Je réalisai que je venais de former un décagone. Un décagone, au moins, ça ressemble beaucoup à un cercle. J’avais donc une étoile dans un cercle, comme le logo Winning Moves. Puis, je divisai l’étoile centrale en cinq formes naturelles de « flèches » et le décagone en dix formes de « parts de gâteau » et j’équilibrai ensuite leurs tailles respectives. Le système de mesure de Photoshop confirma que les angles des « parts de gâteau » étaient de 72 degrés. Cela m’intéressa, car en alignant cinq de ces formes autour d’un point central, on crée un « cercle » de 360 degrés. J’avais à présent des étoiles et des cercles, chacun composé de cinq espaces.

J’ai senti que je tenais quelque chose et, en multipliant ces formes sur Photoshop, j’ai commencé à remplir une grille plus grande avec dix cercles et cinq étoiles de plus. (Je me disais que seize formes à compléter pour marquer des points, ce serait suffisant pour un jeu rapide à quatre joueurs). J’ai réparti ces formes en les espaçant, pour faire joli. A ce moment, je n’étais pas particulièrement intéressé par la nature des espaces qui pouvaient relier les formes à compléter. Cela ne m’aurais pas gêné si j’avais eu besoin de plus de types d’espaces pour ce faire. Mais après essai sur Photoshop, j’ai découvert que je n’avais besoin que d’une seule forme supplémentaire (le « Sliver »), en plus de la « flèche » et de la « part de gâteau », comme je les appelais alors. La grille qui en a résulté prit forme inexorablement. Quand j’eus terminé, je fus séduit par sa symétrie et ses proportions.

(En fait, les propriétés de la grille laissaient entrevoir qu’elle respectait probablement une théorie mathématique sur laquelle j’étais tombé sans m’en rendre compte).

Il fallait que les pièces à jouer soient constituées de combinaisons de flèches et de parts de gâteau, l’objectif étant de les placer de manière à marquer des points en étant majoritaire dans les étoiles et les cercles complétés. Mais avant de finaliser la règle, j’ai sérieusement envisagé d’abandonner ce motif et de repartir à zéro. Les formes constituées sur Photoshop formaient des étoiles parfaites, mais mes cercles étaient en fait des décagones. Et puisqu’il fallait qu’il y ait sur le plateau plus de cercles que d’étoiles, il était primordial, pour que la partie soit agréable à jouer, qu’on puisse les discerner clairement parmi toutes les formes sur le plateau. Je décidai de tenter une nouvelle approche. Cette fois, je remplaçai la ligne brisée des « parts de gâteau » par un arc de cercle, pour obtenir « deux côtés plus un arc de cercle ». Ce concept créait des cercles parfaits mais rendait les flèches quelque peu abstraites. Néanmoins, j’aimais beaucoup le rendu visuel.

Quelle direction prendre ?

Un compromis permit de sortir de l’impasse. Je revins au premier motif, avec uniquement des angles et, comme je l’avais fait avec l’idée d’origine des hexagones, je positionnai un cercle à l’intérieur de chaque forme décagonale. Cette innovation créa des cercles faciles à voir et des étoiles aux angles nets (étoiles dont l’effet visuel fut renforcé par un ajout au centre de lignes radiales, semblables à un astérisque).

La règle du jeu vint rapidement. Chaque joueur aurait le même ensemble de pièces de couleurs. Les joueurs, à leur tour, poseraient leurs pièces en respectant une règle d’or : chaque pièce posée doit toucher celle placée par le joueur précédent (« suivre le leader »). Pour donner au jeu une dimension plus stratégique, j’ai imaginé des cas où l’on pourrait rejouer. Des panels de consommateurs fixèrent le nombre de points gagnés pour la couleur dominante sur une forme terminée (10 points) et le bonus pour celui qui termine une forme (5 points). Les pistes de marquage des points entourant la grille dodécagonale avaient suffisamment de trous pour marquer de zéro à quarante, en marquant de cinq en cinq. Gagner en étant le premier joueur à obtenir quarante points se révéla favoriser des parties pleines de suspense et plutôt rapides (ce qui est hautement désiré à l’heure actuelle).

En janvier, nous avons embauché monsieur Per Hoel, un designer spécialisé dans la maquette en 3 D, pour réaliser à la fois les motifs avec angles et les motifs arrondis. Après un nouveau test de faisabilité, je décidai de persévérer dans la voie des motifs avec angles plus cercles. Je fournis à Monsieur Hoel un patron en 2 D du produit fini, incluant les compartiments de stockage entourant le décagone et un contour « courbé continuellement » pour renforcer l’image d’un CirKis circulaire et non rectangulaire.

Après réception des programmes de contrôle numérique de Monsieur Hoel, des échantillons furent fabriqués et testés, puis commença l’élaboration des moules. Les outillages furent lancés en mars 2009. La boîte fut illustrée rapidement au sein de Winning Moves. La conception du jeu était terminée !